Mathematiques sans ontologie?

0:00 Thank you. I think we can say that the person who doesn't want to suffer, that Gerhard Heinzman is one of the leaders of the epistemology. in France actuelles. Il est un nom, pourquoi ne pas le dire. Lui précisément il est frébeaugeois. Il a fait ses études de mathématiques et de philosophie. Il est titulé avec deux doctorats et une habilitation, c'était le même programme académique tout à fait considérable, un doctorat sur 27, une habilitation, in Germany, and a doctorate d'Etat on the philosophy of Henri Macarré, all of that in Germany. Now that we have already been connected, we have cooperated with Strasbourg and Nancy, I don't know all of you, but what I can say is that he has been long time assistant of Jules Miniman at the University of France. He is currently a professor at the University of Nancy and he is an institute of the CNRS in the domain of the history and philosophy of science, an institute that is centered on the work of Henry Poincaré. I must live in an action for the form regional, trans-regional, European and international

2:30 remarkable. Et j'ai fait un grand rayonnement, et c'est donc un grand plaisir pour moi que de le présenter. Il va parler, ma garantie, d'une manière pas trop technique, du sujet mathématique sans anthologie. Merci bien Claude, merci pour cette invitation et ces mots qui m'en ont beaucoup trop, in other terms of things. Alors, un petit changement dans le titre Mathematisme en Scientologie, avec un point d'interrogation. Ma conférence a trois parties, du naturalisme à l'holisme et au pragmatisme. It's here that I evaluate a little bit the research in philosophy and mathematics today. Then I have to do a little internet to say what is the theory and category. It's not a technique. And then I use what we have gained here, to propose a solution. There are advantages and disadvantages, that we will not discuss, so the approach that I propose for the philosophy of mathematics, pragmatism dynamic. So I start with the first chapter of naturalism, l'aulism and pragmatism. One of the problems that guide the current research Well, that works also. One of the problems that we have in the current research in the mathematics is to avoid a platonism of objects. What is a platonism of objects? It's those who say that the mathematical entities exist

5:00 indépendamment des moyens de démonstration et de notre accès à ces objets. Donc, éviter un tel platonisme direct et éviter un révisionnisme mathématique. Qu'est-ce que ça veut dire ? Ceux qui, normalement, ne sont pas platonistes, ils ont la tendance d'être constructivistes, c'est-à-dire églises. But these rules of mathematics are those who are constructively, where we don't use, for example, the intersection, so there is a restriction, because there are a lot of results in mathematics that can be demonstrated as a demonstration, and so we restrain the domain of mathematics to be practiced. Donc, refusant en même temps constructivisme et un instrumentalisme. Instrumentalisme, ça veut dire qu'on considère les mathématiques comme réservoir d'idées, et la scientifique, il pioche dans ce réservoir et l'utilise, après les mathématiques, c'est évidemment une position philosophiquement non intéressante. So, in the meantime, constructivism and instrumentalism, the debate concentrates on the discussion between nominalists, that is to say, those who say, it is not to quantify those objects, for example, and the new realists or structuralists. so nominalist and structuralist, and these nominalist and structuralist have a great position in common, namely the pertinence of the naturalist. Well, it's what? The naturalist, according to the naturalist, they interrompt the foundationalism and those who respect the metaphor of the construction of a building, there is a foundation. On construct the science, so the appearance of a fundamentalism partage a false proposition about the concept of the foundation. Selon le naturalisme, il faut abandonner l'approche normative des questions épistémiques.

7:30 Car, disons, les trois positions classiques par le platonisme, le formalisme, c'est-à-dire ceux qui disent, c'était discuté dans les années 30, le formalisme c'est est-ce que les mathématiques sont un jeu symbolique ? symbolique. Pour avoir une fondation, on peut s'est justifié, il faut démontrer la même proposition, or ce programme est mis en question par les fameux... Donc on a trois positions classiques, platonisme, formalisme, et constructivisme. Ces trois positions ont échoué, se fondaient d'une manière convaincante from the mathematics, from the theoretical sémantics and anthology, but in any way, totally separate from the practice of science. So, we have given the conditions of reality sémantics, the conditions of reality anthology, but in any way, we don't know what we do in the science. What does the mathematician do? Tout est raisonnable de suspecter avec Quai, non seulement, ça, vous connaissez tous, bien fondé de la différence de principe entre analytique et synthétique, I don't have any questions. You know, at the moment, that the synonymity is difficult to define, but to suspect also the alternative normative-descriptive. So we suspect that we have to have an alternative normative and descriptive. Quelles consequences do we take from this second suspect? In excluding a positive, a positive normative, that is to say this position which is an English expression, anglais, on dit philosophy first. On a le choix, si on refuse à ça, que la philosophie que les scientifiques doivent faire parce que ce qui est justifié en science, on a le choix

10:00 entre l'identification de l'épistémologie et de la psychologie cognitive et d'un point point de vue que j'appellerais avec Stiomath Shapiro, un leader en philosophie et mathématiques, position philosophie ubiquinime, c'est-à-dire c'est une position où les mathématiques ne tournaient pas la philosophie ni la philosophie qui est mathématique. Ok. En adoptant, en fait, tout ce que je veux faire c'est expliquer en fait cette position. En adoptant cette dernière position, on appelle ça un naturalisme modéré, un naturalisme fort sera la position de Klein, la philosophie va être la psychologie cognitive. On adopte un naturalisme modéré. On indique que le philosophe ne dispose pas d'un accès à la réalité independently of the conceptions used in science. After that, this position is, for example, the person who is living, the position is only by an accuser, an accuser is the intellectual, and the other is the intelligence, it is the scientific, and that is only for the action. In other words, there is no science, science, c'est-à-dire qu'ici il existe pas dépendant des mathématiques, qui sont basés sur une indubitable intuition philosophique. En ce sens, la justification philosophique de croyances et de proposisseurs à son origine dans la pratique scientifique. Or, la pratique scientifique est tributaire des normes influencées par le progrès scientifique humain, qui est l'arbitre des questions ontologiques et sémantiques. Une telle position, cette thèse, fut déjà soutenue dans les années 30, ici, à l'école par Jean Carvalès, mais largement ignorée par la communauté scientifique. Peut-être son vocabulaire est trop polzagnien lorsqu'il parle à propôté mathématique d'un dominium sui generis autonome dans ses mouvements. Dans la suite, la discussion de la thèse naturaliste, concernant particulièrement les mathématiques,

12:30 dépend de la question si on accepte ce que j'appelle une position gaulliste généralisée et ça serve la thèse d'indispensabilité. Ah, c'est ça. The position holist-generalissey says that we cannot separate the mathematics and not only the philosophy, earlier, the body of the scientific knowledge in general. There is not only an interdependence of the description of the norm, but in fact, what I have said is that in relation to the philosophy, there is not an interdependence of the norm and the description. It is already it's already the main theme of Charles Van Lasspoort, a great philosopher, who said that we don't have any objects independent of the description, and the description is not independent of the construction of objects. That's the theme of the pragmatism. It's that's what changed. So we have a position in Cullis, it's great, that now we have to see what is the relationship between mathematics and scientific knowledge in general. In which sense do these boundaries between mathematics and science do they be modified or even these frontières abandonnées. Premièrement, je ne suis pas en vue d'une position stricte de Klein qui veut tout ramener à la logique du premier ordre, on a calcul classique des prédérables cohérentes, on a remarqué si ce sera important pour plus tard. Deuxièmement, des théories mathématiques probablement commencent

15:00 avec des observations empiriques sur la géométrie et des manipulations de quantités concrènes, Mais, de retourner à ces observations sur des objets concrets, demande un personnage important qui s'appelle ça des définitions coordinatives. Par exemple, si vous voulez voir si votre triangle a vraiment 180 degrés, il faut prendre un rapporteur et il faut mesurer. Mais non, attention, le rapporteur, évidemment, il obéit à certains en physique. You know, it's just a mix of math and math. So, you call it the Thaese Thuyen. And if you say that it's not only the observation, but it's the truth, it's the test of Duyen Cohen. So the reality of a theory, a theory mathématic, can never be tested by an experience because there is always a theory physique and if an experience with a mathématic Vous pouvez toujours changer en principe les lois physiques pour faire correspondre une mathématique avec une mathématique. There's a test d'indispensabilité qui dit que les mathématiques sont une partie indispensable de la pratique scientifique pour dire que la mathématique est acceptée à cause de sa relation avec une description du monde empirique. Donc, c'est une thèse qu'on peut mettre en question. I accept the prosomology. Quatrièmement, selon une façon de parler dans une tendance récente en philosophie et mathématiques qui commence avec Goethe et qui continue par Paul Bernays et il va jusqu'à Pellodmény,

17:30 c'est ce qui devient naturel de supposer un parallélisme méthodique dans la théorie de la connaissance concernant la saisie des objets mathématiques et la saisie des objets empiriques. In fact, Goethe lui-même donne un argument négatif, un argument positif. Un argument négatif, ce qui fait le parallélisme dans les deux domaines, nous ne sommes pas du l'entend près d'accepter une intuition indubitable. It's true, for the theory, it's true, for the intuition mathématiques, évidemment, sous l'influence of the paradoxes. Votre intuition n'est pas intuitive. Et, an argument positive for this paradox, is that in the same way that the experiences force us to modify our philosophies empirically, it is the same way that the paradoxes force us to modify our philosophies mathématiques et Bernays parle dans ce cas-là d'une expérience mentale et maybe parle de non-infrastructure vive par rapport aux objets malignants. Maintenant, si on devrait accepter le holisme, The naturalism holist is from 1 to 4, the scientific practice lies science and mathematics mathématiques, il semble clair que la vérité, de toute façon la conception standard de la vérité nous force maintenant de croire en des entités mathématiques, c'est-à-dire

20:00 d'être réalistes. Mais les nouveaux réalistes essayent d'éviter justement des difficultés qui résultent d'admettre des objets mathématiques abstraits. Donc en gros, pas parce que si Si on admet des objets mathématiques concrets, il faut aussi admettre, parce que le langage des sciences est en fait un langage bien ontologique, le langage est ontologique et il est très to admettre des objets mathématiques comme le critère d'ontologie pour le langage, c'est évidemment d'être une variable et il y a des variables de langage mathématique Why should we renoncer à une position ontologique si on est naturaliste, c'est-à-dire si on accepte que les mathématiques et la philosophie, la relation entre mathématiques et sciences, ne sont pas normativement prescrits par la philosophie, but they are in a relationship dual, dialectic, but they don't have to think about it. So, what are the difficulties with, if we say that we have an anthology mathématic, ...deux difficultés. Deux difficultés, comment il est possible que les entités mathématiques qui sont abstraites, on ne peut pas les voir, sont épistémologiquement accessibles.

22:30 Si je parle épistémologiquement, c'est parce qu'en français, il n'a pas un adjectif pour la théorie de la connaissance. epistémiquement, en termes pratiques et de la connaissance, épistémiquement. Oui, épistémiquement, mais là, c'est la logique épistémique, c'est... bon, épistémiquement, bon, c'est comme vous... Donc, comment... comment est-il possible que les objets mathématiques they are epistemicly accessible, and yet they can't provoke, and how do you want it to be epistemicly accessible, if they are not empiric? How does the causality work? How does the causal model have to invent it? on est stimulé qu'est-ce qui est accessible, mais c'est pas ce qu'on est stimulé. Donc on ne peut pas le voir, comment peut-on donc être sûr que tout le monde accède aux mêmes objets. Évidemment, vous pouvez donner un argument anthropologique parce que les magiciens sont toujours à peu près la même chose, mais c'est pas vrai d'ailleurs, in the context of this subject, but there is a difficulty, and it's an indisputable dilemma of the nationality. In this difficulty, how is it possible that the platonism, if we know that some ensemble excludes others ensemble? Par exemple, si vous admettez un ensemble de tous les ensembles, vous ne pouvez plus admettre l'opération de la puissance. Parce que si vous admettez encore l'opération de la puissance, il doit avoir la puissance de l'ensemble de tous les ensembles. Et là, il y a un théorème qui montre que cet ensemble doit être plus grand que l'ensemble tant que ce n'est pas l'ensemble de tous les ensembles. So, I call this, it is the exclusive entities.

25:00 Now, since Helmholtz and Poincaré, we are very familiar with the theory that the relations between the subjects are the only thing that exists. et cette synthèse du réalisme métaphysique se trouve exprimée et en même temps transformée dans la discussion contemporaine par le structuralisme. Des objets mathématiques existent seulement en tant que position dans des structures. Mais là, vous voyez déjà, on crie parce que, évidemment, When Helmholtz talked about his metaphysic realism, he said that we are affected by objects, that our nerves are excitable, etc. And like that, we don't know what's going on, but we know the relationship between all those who are going on. But in fact, precisely, the mathematical objects are causally inept. So we don't know how to build it. If we make this passage, we say that in fact it is how much it is? Then we forget that the mathematical objects have no relation to it, like with the empirical objects. So, the structuralism says that the existence of mathematical objects, like numbers or ensembles, is only relative, is only relative to a structure. structure. Et ces structures sont postulées par le réaliste-structuraliste, postulées d'exister pour eux-mêmes. Maintenant le progénétable est de me demander si un philosophe peut être satisfait avec l'opinion que le structuralisme n'est pas concerné avec

27:30 structure. C'est ça le problème. C'est ça le problème du structuralisme, même du structuralisme en général. D'où tire-t-il ces structures ? C'est-à-dire est-ce qu'on est d'accord avec l'opinion que le philosophe est seulement concerné avec la composition interne arrangée dans les structures. Et par rapport à cette question, donc, des problèmes doivent être maîtrisés. Premièrement, il n'existe, de toute façon à ma connaissance, il n'existe pas de sémantique sérieuse selon laquelle les relations peuvent être considérées indépendamment des relations. Deuxièmement, on peut essayer d'étudier les structures en tant que les structures elles-mêmes en tant qu'objets mathématiques. On peut dire oui, mais est-ce qu'il n'est pas possible de faire une théorie mathématique sur des structures ? Et là, en fait, trois positions, trois variantes ont été proposées. one variant is based on the theory of the ensemble, the other variant is the theory of the generis, and other theories which say that the structures, in fact, this idea of Leibniz, it's possible, it's possible, it's possible, it's possible, it's extreme, it's practically a logical model of the objects, it could be other. Now, if we adopt the point of view ensemblist, then there are new questions

30:00 who can examine the structures. How do you want to examine the structures if you want to examine the structures from a point of view? Thank you. The other problem, Le premier problème, est-il possible d'impliquer le structuralisme ensemble à la théorie des ensembles elle-même ? Il faut voir, maintenant, on veut traiter les structures dans la théorie des ensembles, mais la théorie des ensembles est une théorie mathématique. So there are two possibilities. So you say, you know, you know what it is, you know what it is, you know what it is, you know what it is, you know what it is, but you know what it is, also as a theory mathematical formulae in structuralism. So you can see that everything is circular. If you want to make a theory mathematical that explains the concept of structure at the aid of the meta-theory, the meta-theory of the ensemble, and to dispose of the theory of the ensemble. Or the theory of the ensemble is just something that is in question, because all the mathematics are reduced to the theory of the ensemble. So here, we are completely in the... We are turning around. Deuxièmement, maintenant, B, doit-on dire maintenant que, si on réfléchit, qu'est-ce que c'est la théorie des ensembles ? Est-ce qu'on doit dire que différents ensembles form l'anthologie d'une structure, ou doit-on dire que les structures unifient certaines opérations générales.

32:30 There are two possibilities. There are two possibilities. In fact, the first one is the solution in general. One structure is an ensemble, and on this ensemble there are certain functions, certain lois. Mais on peut aussi dire que la structure est décrite par un système, mais que l'essence des mathématiques est l'activité et la structure unifie donc toutes les opérations sur les mathématiques. Et là, on connaît surtout les théories mathématiques par excellence if we don't take a consideration of these objects, it's the theory and category. It's to say, in the theory and category, there is a priority in relation to these operations instead of having a priority in relation to these objects, like in fact the theory and the sense. So, in the next section, je veux poursuivre donc la réflexion par rapport à la théorie des ensembles assez brièvement et ces réflexions sont basées sur un doctorat qui est soutenu à Nancy récemment par Ralph grovement sur l'histoire et l'épistémologie de la théorie des catégories. Maintenant, pour être clair, et surtout ici, dans cette maison où enseigne M. Lambeau, je ne veux pas dire que la théorie des catégories doit être prise maintenant comme fondement des mathématiques. I just want to say that the theory of the category can be a cadre for the mathematical structuralism. And the reason for this limitation is that the theory of the category ne dépend pas d'une part, la théorie des catégories ne dépend pas d'une part de la théorie des ensembles,

35:00 ça je ne peux pas dire. On pourrait dire pour quelle raison dit-il pas comme langot que la théorie des catégories doit être prise au lieu de la théorie des ensembles comme un fondement des mathématiques. Cette thèse existe. So, I don't want to say that because, to my opinion, the theory of category, no more, it doesn't give a response to what is a structure mathématique. I'll try to explain why. Mais ce que je tire de ces réflexions de la théorie des catégories, c'est un enseignement philosophique sur une position philosophique, et cette position j'appelle le fragmentisme d'une amitié. Et en fait, la théorie des catégories nous livre une plus fine compréhension d'un concept qui est important en mathématiques et c'est le concept quasi concret ou le concept l'expérience mentale ou l'expérience de pensée. Si vous dites ça, je veux qu'on ne reste pas dans la métaphore. Qu'est-ce qui vous s'autorise de parler de ça? L'expérience de pensée, c'est complètement absurde. Donc, par exemple, c'est typiquement des expressions qu'il faut mettre avec Karnat dans la poubelle de l'histoire, de la philosophie, sauf si justifier. Donc je vais essayer de justifier qu'est-ce que ça veut dire que je pense penser qu'en fait. Et donc, si le but, il y a une vraie supposition, si le but de la philosophie des mathématiques n'est pas de fonder les mathématiques mais de comprendre les mathématiques. Alors, sous cette condition, je crois que l'approche dynamique via les catégories nous aide et est très efficace en philosophie mathématiques

37:30 parce que ça nous donne une meilleure compréhension de la dialectique entre abstrait et quasi concret. L'analogie entre expérience et expérience de la pensée n'est pas à chercher dans le domaine ontologique, mais dans la méthode pragmatico-poliste qui considère la différence entre contraire abstrait comme différence relative. I think the most important message in philosophy is that the distinction between concrete and abstract, the distinction absolute and unjustified. Because in fact, if you believe that something is concrete, what does that mean? You don't have the possibility to fix it conceptually. In fact, it's the problem, obviously, of Aristote, of the predication of Aristote. It's the metaphysics of Aristote. That's what he wants to know. comment le singulier, lui il parle du singulier du général, comment ça se pose, donc c'est un problème métaphysique et là je suis aristotélicien en disant que la distinction n'est pas absolue. Bon, je viens vite à la théorie des catégories. J'ai une heure quinze, donc il faut que je fais ça dans quinze minutes. Peut-être plus important c'est quand même que vous compreniez red. Again, we wonder what is a structure. A structure, we can believe, we can be able to characterise it by the theory of the ensemble. That's what we do, that's what you do for Paki, etc. But in this case, we have to accept a naive theory of the ensemble. If we accept

40:00 une théorie naïve de l'ensemble, on dit qu'on a un accès intuitif aux ensembles dans son structure mathématique, donc on n'est plus naturaliste. Donc ça va. Est-ce qu'une structure peut être intéressée par la théorie des catégories ? You will see that also it is not clear. What is the theory of category? The theory of category formalizes the notion of an object, a flesh, and the composition between these two things. Exactly as the theory of ensemble formalizes the idea non-formel d'un ensemble et de la relation d'appartenance. Mais il y a une distinction importante. Dans la théorie de catégorie, le domaine n'est pas caractérisé par la description de toutes les propriétés communes à tous les éléments du domaine, mais par l'examen de relations entre certains objets. Bien plus, la théorie des catégories ne prend pas certes en considération la nature des éléments, existence. L'idée principale de la théorie des catégories est quelque chose de pétant de la théorie. Je ne veux pas dire structure parce que comme un patron peut être transporté d'un support vers un autre support. C'est ça l'idée de la théorie des catégories A l'aide des moyens mathématiques, ce sont des flèches et des morphismes. Et les constructions sont caractérisées par leur comportement sous ces manipulations. Maintenant, il est important que des flèches ne soient pas nécessairement des fonctions au sens ensembliste. C'est-à-dire, ce ne sont pas nécessairement des ensembles. Une fonction, normalement, c'est une relation particulière et donc une relation, c'est un ensemble.

42:30 Les flèches, ce n'est pas caractérisé de cette manière, mais le rôle essentiel, par exemple, d'une fonction consiste dans une coordination point par point, tandis que la théorie des catégories est l'étude de composition des flèches concernant le transport de certains patrons. On peut aller encore un peu plus loin, et on peut dire que les catégories, on peut considérer les catégories qui forment de nouveau une catégorie. C'est-à-dire, bon vous connaissez this passage mathématique, on peut, ça c'est absolument commun, on peut prendre une fonction et de nouveau prendre des fonctions maintenant sur les fonctions. Quelque chose de cette manière se passe également en théorie des catégories, on parle alors des catégories but you can change the perspective. The same kind, because I can't remember, I can't remember how to express it, La même chose peut être un objet et peut être une flèche. Ça dépend de votre point de vue que vous êtes. Ça, c'est pas possible en théorie des ensembles. En théorie des ensembles, mais les ensembles ne peuvent pas, à un certain stade, ne peuvent pas projeter sur un autre stade. because you can't confront the levels, it's not that the paradox of race. There is a distinction. In fact, in general, in the theory of categories, you are not obligated to introduce a stratification of your universe. At the contrary. The force of the theory of categories is that you can,

45:00 It is, according to perspective, to consider an object as an object or an object as an object. And the criteria of identity are completely different. There is no criteria unique. C'est-à-dire, en théorie des ensembles, l'axiome d'extensionnalité dit est-ce que deux ensembles sont identiques. En théorie des catégories, les flèches, les objets sont identiques si ils sont anti-isomorphes, mais cette conception d'isomorphie n'a pas de objectivité. So it's more weak than the isomorphism in theory. We say that the flesh is identical. It's an other criterion. For example, if you have a function, a function, disons, x² de r à r, donc de nombre réel et nombre réel, et x² de r dans le nombre réel positif, c'est dans la théorie des ensembles, c'est exactement la même chose, mais dans la théorie des catégories, c'est différent parce que la chose où arrive la flèche, c'est-à-dire r0 ou r, est différente. Bon, je ne peux pas aller plus loin. Une chose encore. L'innovation de la théorie des catégories par rapport à la théorie des ensembles est la possibilité que je reconnais qu'il y a deux choses qui sont chez les flèches. Mais ceci n'est pas une repartition anthologique comme entre ensemble des classes. Un objet au sens ordinaire du mot peut être objet dans une catégorie et flèche dans une autre. Et il existe même des flèches qui ne sont pas des fonctions au sens de la théorie des ensembles

47:30 Well, in theory, it's simple, not only an ensemble. But, you see, now it's biotechnical, it's something that we have to understand, but it's not that now, but it's something that we have to understand in the philosophies. It's that the important results in theory and categories are just with the categories where the objects are not elements and where the functions, or the flèches, are not functions as in theory and ensemble. It is to say, in consideration of this activity. And, of course, in theory and ensemble, but in the same way, it's always something that's true. Donc, maintenant, pourquoi, j'avais annoncé, je veux vite dire ça, pourquoi peut-on pas, est-ce que peut-on considérer la théorie des catégories, peut-on substituer la théorie des ensembles ? De toute façon, un argument qui est donné est celui de Feiffermann et de Hillmann qui ont dernièrement fait une conférence annoncée et l'argumentation est la chose suivante. So, this essay, that is, the theory of its ensemble, with the test of the content, is indispensable for the interpretation of the theory of the categories. Why? I can explain this, but I think I can explain it very simply. There are categories. What is it? Flèches, objects, etc. Now I have to say that there are categories of categories. What does that mean? but we have the foncteurs and the foncteurs, they are not the foncteurs, but the foncteurs, it is a flèche entre flèches,

50:00 and it is important to have a new category, but now the Roman and Herman say, Mais comment on constate que c'est encore dans le cadre de ce qu'on fait, c'est encore dans le cadre de la théorie des catégories ? Il faut dire évidemment que ces catégories de catégories satisfont à une structure algétrique, ce qu'on appelle la théorie des catégories. Mais, et là, évidemment, tout s'éclate, parce que satisfaire, comment voulez-vous définir la satisfaction autrement que par rapport à un concept ensembleiste ? Bon, on peut faire des tentatives, je ne sais pas, des tentatives en logique modale, des tentatives en méréologie, etc., mais ils semblent, de toute façon c'est un problème, fait par Mané et Mané, c'est difficile. Dans la métathéorie de la théorie des catégories, il nous faut encore la théorie des ensembles parce qu'il faut définir la satisfaction, donc la théorie des catégories ne peut pas servir comme théorie fondamentale des mathématiques. D'un autre côté, évidemment, la théorie des catégories n'est pas réductible à la théorie des ensembles. I think that I can't say that it's a little bit technical. You don't think that the other side, non plus, the theory of the category is not reductive to the theory of the sense. But then, the theory of the category... So, we can't really know, technically, until today, we don't have a result of these arguments, contraire, et donc telle théorie prendre comme, techniquement, comme théorie fondamentale des mathématiques. Mais moi je dis au moins la théorie des catégories est assez bonne pour exemplifier un point de vue pragmatique en philosophie des mathématiques, à savoir

52:30 pragmatisme dynamique. Et à ce propos, voilà. Je m'arrête ici, je vais au troisième chapitre donc. De toute façon, la théorie des catégories est assez bonne pour exemplifier l'approche du pragmatisme dynamique. Maintenant c'est quoi ? Donc je veux proposer l'esquisse de ce pragmatisme dynamique d'un point de vue comme un oiseau de la théorie de catégorie. 3 points, 3 points. Première conséquence de notre discussion, je veux préciser l'idée de Keogh concernant le paralysme méthodologique entre mathématiques et sciences naturelles. It implies, from the point of view ontology, that the distinction between objects concrets, objects abstraits, but absolutely relative. It implies that the spontaneity and the receptivity are two aspects separate. it was obviously anti-dualist, so Kant was, if you want to say, Kant was dualist, then it came from the empirism logic, so often we were an empirist, and then, I call it the critical period of the empirism. And now, there is a critical period of the empirism. So, there are two aspects, etc. The comparison has a capacity, and not the result of the theory of science. toute la discussion philosophique est en fait un malentendu qui peut être lu en tant que malentendu,

55:00 on peut montrer, moi de toute façon je peux le montrer pour Aristote, pour Locke, pour Descartes, pour Kant et tout ça, que chaque fois la difficulté majeure du système, soit que c'est empirique, soit que c'est rationaliste, qu'on croit toujours au boulevard, saisir des objets empiriques, saisir des pensées et pas prendre en considération que la compréhension et les capacités, évidemment ça c'est l'élément un pragmatisme et la compréhension et des capacités et non le résultat que le théorisme des entités donne. Il n'y a pas d'information pure, de sorte que les objets et leurs relations sont toujours des constructions schématiques, en d'autres termes, ce que dit Ferdinand Concet, un philosophe suisse, des horizons de réalité ouverts à l'expérience. et cette expérience est appelée mentale à partir d'un certain niveau d'abstraction sans que l'on puisse exclure le caractère vague du passage en question. Je reviens tout de suite. Donc, deuxième point, le pragmatisme dynamique coïncide avec une solution pragmatiste the relationship between the tool and the object. The idea is to accommodate the mathematics to the internal problem of a theory instead of describing this one in relation to an intuition foundation, so that is the naturalism, or in relation to an interpretation of the structuralism. At this point, for now to describe this relationship between abstract and abstract, we need to revisit the concept of intuition and the sense of the human. Les concepts et théories sont les résultats de théorisation de certaines formes d'opérations mathématiques à des niveaux différents.

57:30 échappent à un niveau intuitif ou à un niveau de sens commun si le langage est utilisé dans une manière non-réflexive. C'est-à-dire, vous faites par exemple la théorie des fonctions, vous utilisez la théorie des groupes, so you use the group without asking if the theories of the group are well-fonded. So intuitive, it's only if you don't put in cause the validity of what you use. And in fact, you could also do the history by metaphors, the history of philosophy by metaphors, so the image of the metaphors is the construction, it's the foundation, and the other, Evidemment, c'est Noérat avec le bateau en la mer, on construit tout en faisant des réparations. Donc on construit ce nouveau bateau tout en faisant des réparations. Et c'est ça, c'est ça que, évidemment, c'est l'approche éloignée, c'est Noérat qui l'a inventée dans sa réponse à Karna. Donc il faut se passer évidemment sur les sciences. Si on fait même la philosophie, mais c'est actuel, pas sur la science en général, il faut bien regarder qu'il n'y a pas de cercle. It's not an approach to the philosophy that comes from... We can't use science or philosophy because it's circular, but we can look at which part is implicated, which part is not implicated, and what can we do exactly? What problem is that? So, at the intuitive level,

1:00:00 it's the point of the beginning of an abstraction schématique, it's practically, after we can say, it's the engagement ontology. It's not that the point of interrogation, the subject of this conference this evening, Mathematics-Sense-Othology, in a certain sense, we can say the common sense, it's not an ontology. c'est une fois que je suis à un certain niveau d'abstraction, est intuitive évidemment le niveau antérieur que je dois mettre, parce que je suis arrivé. Et ça en fait ce que Fr. Peter Stolzen l'a très bien vu quand il a soutenu la thèse que le contraste entre le sens commun et d'autres connaissances n'est pas celui entre la connaissance scientifique et la connaissance scientifique. Vous entendez souvent ça, que le sens commun est ce que tout le monde pense, et le sens non commun c'est la connaissance scientifique. Non, je crois que les phrases, par exemple, de Wittgenstein, qu'il considère qu'il va au-delà de toute justification, ne peuvent pas être connues, in the sense of knowledge, because, for example, 2 plus 2 equals 4, because, for example, these phrases are of the sort that it is simply not very reasonable if we are not, let's say, a mathematician from the beginning It's not reasonable to put it in question. In mathematics, we usually have some questions that are more complicated. They port more than 2 plus 2 equal 4, so, in accepting 2 plus 2 equal 4, n'est-ce pas? But, without saying that 2 plus 2 equal 4 is fair, simply, it's a level intuitive where you can put it in question. it's a little intuitive also. So, on a recours à ce que Kusson appelle les Higgs-Weldt,

1:02:30 ce qu'on dit, Wittgenstein dit, c'est là le niveau du, c'est qu'on joue à jeu du langage, c'est la situation intuitive préalable, et ce que je peux appeler, je peux appeler it's the aspect object of our theory. The intuitive aspect is the object object of our theory. In other words, there is not an intuitive level or a level element, a level element, like the numbers or figures. It's already a part of it. Plutôt, l'explication mathématique concerne déjà l'articulation et l'expansion des schèmes du sens commun. Plus exact, l'activité mathématique n'est pas seulement une activité mathématique qui concerne la connaissance par description, This is also the point of view of a realist, a mathematical, an écrit, or something. But the mathematical, the mathematical, it's also a knowledge, Rassel would say knowledge by the greatest, that is to say that we have an English, how to say it in French. The knowledge is justifié and we are just familiar with it. It is the level of our family behavior with our objects. Obviously, being anti-realist does not mean to put in question that this object, obviously, is there. It is not that it is the question. It is the concept of how I form my concepts, et quelle stature anthologique se donne à ce concept de langage.

1:05:00 Et donc, cette possibilité de regarder une fois, de considérer, de changer d'aspect, de prendre une théorie, de la prendre comme outil pour une autre théorie, C'est ça, justement, le succès de l'anteriorité catégorique, parce que, d'ailleurs, la situation de monotone, d'abstraction est abandonnée. Et... Deuxième point, peut-être encore, dernier point. Mais une référence de retour à un langage plus intuitif ne veut donc pas dire qu'on défend un point de vue d'un fondationaliste, vous l'avez compris. seulement que de poser même la question de validité à un certain statut, à un certain niveau de la connaissance scientifique, présuppose une pratique relative à laquelle la question validité ne se trouve pas. Si vous voulez mettre quelque chose en doute, mais vous devez mettre ça en doute par rapport à une pratique dont la validité est provisoirement acceptée. On dit souvent qu'il n'y a plus à chercher la nature du rapport des mathématiques à la réalité parce que ce rapport est brisé. Là, c'est ça que je veux lutter contre ça. Parce que ce qui est prisé n'est que la relation entre mathématiques et une première réalité tangible. Par exemple, évidemment, si vous faites maintenant la relativité générale, la théorie qui tient, donc là, ce n'est pas tellement utilisable. But in fact, you know, it means to recognize the history and the development of concepts, and also to recognize that the tools of knowledge also are submitted to a development.

1:07:30 C'est-à-dire d'introduire une coupure absolue entre mathématiques et expériences et d'en faire le constat d'une attitude qui méconnaît le problème des fondements en faisant l'économie de l'histoire et de l'évolution de la pensée mathématique. Dans la perspective pragmatique, le concept de justification est toujours connecté avec la reconstruction logique et historique des résultats obtenus. because understanding mathematics includes also learning and development. There is not only an evolution of mathematics, but also an evolution of knowledge and knowledge allowing inventing the new synthesis that is not available for which the computer does not exist. There is no abandonment of the intuitive because the intuitive reference is not the initial reference. un mathématicien qui est familier en théorie des groupes, mais la théorie des groupes c'est sa théorie intuitive. Et à partir de là, il va construire. C'est plus des choses comme une transformation pragmatique de la corrélation entre les termes en question. Je termine là-dessus, ça c'est la chose principale. D'une part, l'empirique, dans sa signification révisée, n'est pas opposé au rationnel, en général, mais l'empirique est utilisé à la systématisation, c'est-à-dire l'entendement se fait plus valoir dans des principes a priori, mais par le progrès de la formation des concepts. Donc il y a changement de l'empirique. D'autre part, le rationnel dans sa conception réalisée n'est pas opposé à l'empirique mais à la capacité de concevoir des impressions de contenu. Concevoir des impressions de contenu, M. Brunet, évidemment c'est l'hémor, C'est ça qui a dit que sa plus importante invention était de transformer le concept de l'intuition, c'est-à-dire être intuitive si je peux concevoir des impressions. Donc, concevoir un domaine de données, d'où la possibilité de parler de l'expérience.

1:10:00 So, you can see that the opposition consists between the concept of intuition, which is exprimed in terms of logic, and, of course, the concept of the general intuition, which is the term singular, replaced by the distinction between form and continuous. And this is now conçu in the tradition of the neo-conscience as a function function. This is the tradition of Freese-Melson-Dermans. L'invariance qui fronte l'analogie entre les concepts d'expérience et d'expérience comme esprit consiste dans le fait que les deux sont conçus en tant que contenus dans un rapport fonctionnel avec leurs formes respectives. Je vous remercie. Merci beaucoup Guillaume pour cette très convaincante analyse et démonstration. La discussion est ouverte. I have a question and remark about the theoretical structuralism. The first thing I would like to say about the notion of structure, which is a notion formelle, which is not a notion of ensemblist, because it is defined in the capital of the ensemble, but it's a notion of very high level, and it's why, perhaps, when we introduce, let's say, in the case of the theory of the theory, this notion, let's say, the structure initial, structure terminale, which is a notion also complicated. I mean, when you think of the theory of the theory, it becomes a bit more simple. And it's maybe a reason to say that theory and category really gives support to the point of view structuralism. That's the case more natural and formal for structuralism. But on the other hand, I have some doubts for the following reasons.

1:12:30 Disons, l'idée même informée de structure, c'est évidemment de trouver une sorte d'isomorphisme, ou peut-être un morphisme, ou pas un isomorphisme, entre, disons, les cas concrets différents, comme même les responses, et les trouver différents, quelque chose de séparé, ou, disons, les notions des groupes qu'on bâti sont pas en groupe d'addition de normes, par exemple, la transformation géométrique, et après on a quelques homomorphismes de ces deux groupes, structure. Mais ce qu'il faut faire, disons, du point de vue théorique et catégorie, c'est plutôt que de faire cette sorte d'abstraction comme structure du groupe, voilà. Il faut plutôt regarder, utilisant ce dernier exemple, une transformation géométrique comme catégorie, disons, le nombre entier comme catégorie et trouver les poutons. And then we can study the properties of the fact that we are much more net, like, let's say, we can see if it is reversible, we can see if it is possible, we can see if it is possible, and in this sense, the category, simply, is something much more concrete than this notion of... It's really convenient, because I say that it really utilizes this abstract and concrete that I find very important, but in my opinion, maybe it changes the same idea of the structure, this approach catégories, or maybe not, what do you think? in the technical discussion about the preference of the theory of category or the theory of ensemble and in relation to structure. I did not say that I could pick up the theory of category but I could pick up the theory of ensemble. But what I think is interesting the dynamic, the operative of the theory of the category. And is that the theory of the category can define the structure? But I gave the argument to Hellman just that

1:15:00 Non, ça n'arrive pas, vous avez raison. Il faut dire que c'est une autre structure. En fait, ce qui est mis en question, vous avez absolument raison, que c'est la même, It's a notion of structure. Mr. Delis. Excusez-moi. I just want to say that I'm doing a theory of all. And this theory, finally, depends on, I don't know, this is an ensemble, but the coordinates, the things, they can all be described by the vectors, that are defined by their direction, their length, and which can be found absolutely everywhere. Autrement dit, la notion de coordonnées n'existe pas. Donc la notion de coordonnées, évidemment, définissait justement l'objet, vous voyez. Voilà, alors moi c'est le contraire. Exactement. Moi je sens bien que je suis moi, mais je suis là-bas, ici, là ou là, ça ne changera pas. Et pour chacun d'entre nous, ce n'est quand même pas tellement commode de se fixer des coordonnées. On peut, en fait, c'est ce que j'ai réussi, on peut arriver à décrire des choses importantes sans supposer que ces choses dépendent de leur position. C'est-à-dire qu'on les définit simplement par des vecteurs libres, c'est-à-dire des vecteurs qui ont une direction et une longueur, mais une position absolument quelconque. On arrive à définir comme ça aussi bien l'atome que le quark, que les molécules. Et à partir des molécules, on définit aussi le vivant et on finit par définir aussi les galaxies. Donc tout ça, ça marche de la même façon, si vous voulez. And, on en déduit d'ailleurs que l'univers est uniforme et tout simplement les astronomes ont inventé le Big Bang.

1:17:30 Ils ont toujours fait des tas de calculs quand ils ne connaissaient rien de la chose. Ça c'est extraordinaire. Le Big Bang typique et le trou noir. I don't know certain. Well, they have done some calculations. Of course, it's easy to do, but my position is the reverse. I take something very simple, and I realize that with that, the universe is uniform. Because what the astronomers have said that they want to do, it's to believe, and to trust the mathematician, a unit which is the mètre which is about Paris and with which we define Armstrong. It's very different from the dimensions of the objects that we can use with the 1st of the 1st of the 2nd of the 1st of the 1st of the 1st of the 2nd of the 1st of the 1st of the 1st of the 1st of the 1st of the 1st of the 1st of the 1st of the 1st of the 1st of the 1st. and on pretends, when we look at an toile, its dimension and its position, which is still a little excessive. And in my theory, we understand that this is not good. Effectivement, the astronomers are trompés, and they are always talking about red sheets, of measures that are too short compared to what we think, and then, you know, all those measures are made, because we can still tromper. And never, we would find in the astronomies, that the astronomers could have the idea to tromper on the measures at a huge distance. The sonde that we see now is at a billion kilometers, which is quite bad, Well, I hope you'll find out with that a confirmation of this theory. Because this theory shows that we want to describe it simply with vectors, which is absolutely useless. I hope to be able to tell you something. Thank you. Yes, I have two questions quite précises on what you have said, to be clear, to be able to understand.

1:20:00 Un des thèses de dualisme généralisé, c'est une théorique qui est acceptée, à cause d'une de ses relations avec une description du mouvement théorique. C'est la thèse d'indispensabilité qui fait partie de cette théorique. Voilà. Alors, voulez-vous dire accepté ou voulez-vous dire acceptable ? Est-ce que c'est une position descriptive de ce qui se passe quand c'est normatif ? D'accord. Et si c'est normatif, comme est-il, par exemple, une théorie, je ne sais pas, banalement, une géométrie neuclidienne, tant qu'on n'a pas découvert une relation avec un intérimité, It's to say, for example, before the theory of physics, how do you consider it like a theory, scientific, mathematic? No, it's a theory juristique, but not yet justified. Yes, it means after. Yes, exactly. But it depends, yes, That depends, yes, that depends on the justification of a theory mathematique, depends also on the process. But I don't know, maybe I have a fault when I say, when I say, a theory mathematique is justified by rapport to science naturelle. No, on devait dire, une théorie mathématique, il suffit peut-être dire qu'elle soit justifiée dans l'application à l'intérieur des mathématiques. Ah oui, d'accord. Alors, c'est ça qu'il faut... Oui, merci. Je n'ai pas fait attention à ce point-là, mais il faut dire pour les mathématiques que c'est raisonnable, that the theory is obviously justified if it is applied outside but also justified when it is applied in other domains. I believe that we can even justify it. Yes, but it's that, it's important.

1:22:30 — Alors, une deuxième question concernant ce qui résulte, en fin de compte, selon vous, d'après votre solution, qui sont pragmatiques ou opérationnelles, du dilemme de Benasséraf. Est-ce que vous le résolvez ou est-ce que vous en rejetez les termes ? I don't think that you don't reject the term, it is to say that you don't think that the relations, that the objects mathématiques are epistemic accessibles in the sense of the receptivity. Well, according to you, the name of Benassarath, he is prisonnier of the opposition between spontaneity and receptivity. Exactly. So, there is no name of Benassarath. your thoughts, your intervention, your... Well, if there is no other way, I would like to ask you a question. There are maybe things to do with what you have written, certainement a des choses à voir avec celui que vous avez écrit, mais je dirais que les sciences de la vie sont des problématiques qui pourraient, c'est sûr, rencontrer les tiennes, but I would like to do a work considerable to be able to do this work. This evening, today, I can't do it. So, if there are no other questions, I think we can thank very much the Rappenspan of the very high level. Just an information complémentaire. Donc, lundi prochain, dernière séance du premier semestre, avec la série Philosophie du dehors, Romain Uvasiani, cynologue et philosophe,

1:25:00 parlera de la notion de la pensée chinoise et de la sa terre repasse sur le fait de savoir si on peut parler ou non de philosophie chinoise. And the second semester, in fact, is going to be a science exceptionnel with the participation of Vinadas, who is an anthropologist and philosopher of Johns Hopkins and of the University of New Delhi, who will talk about the ethnography, from a point of view that relates to the social social and philosophy. Thank you.